I gave up looking for it.
私はそれを探すのをやめました。
「give up ～ing」で「（悪習慣などを）するのをやめる」「～するのを放棄する」という意味になります。
同類の表現
I am going to give up drinking coffee.
コーヒーを飲むのをやめようかと思う。
He did not give up drinking in spite of the doctor's advice.
彼は医者が勧告したのに酒をやめなかった。
The government gave up building new atomic power plants.
政府は新しい原子力発電所を建設するのをあきらめた。
I gave up trying to win his consent.
彼に承諾させることはあきらめた。
He gave up smoking.
彼はたばこをやめた。
My strength went and I gave up walking.
力が尽き、歩くのを断念した。
She has given up writing since that incident.
彼女はその事件以来、文筆活動をやめた。
I gave up eating meat a few months ago.
2,3ヶ月前に肉を食べるのをやめました。