Only then did he find out that the movie was no longer playing there.
その時初めて、彼はその映画がもう上映されていないことを知った。
「only then」は否定語として扱われ、「否定語が文の先頭に出ると主語と動詞の順序が逆になる」という法則にあてはまります。この場合は「he found out ～」の部分が「did he find out ～」となっています。
・主語と動詞の順序が逆になることを「倒置」と呼びます。
・否定語の強調のための倒置では、一般動詞の場合は単に主語と動詞を逆にするのではなく、Yes・No 疑問文の語順と同じになります。
同類の表現
Not only can she play the guitar but also the drums.
彼女はギターだけでなく、ドラムも演奏できます。
Little did I dream of becoming a teacher.
私が教師になるなんて、夢にも思わなかった。
Never have I heard such a beautiful singing voice.
こんな美しい歌声は1度も聞いたことがありません。
Nothing has he written on the answer sheet.
何ひとつ、彼は解答用紙に書かなかった。
Little did he imagine that he would win first prize.
自分が1等賞をとるなんて、彼は想像もしませんでした。