I will give you my bike.
私の自転車をあなたにあげましょう。
「I will ～.」で「私が～しましょう。」と申し出る表現になります。
同類の表現
I will go with you as adviser.
アドバイザーとして、あなたと一緒に行きましょう。
I will drive you to the airport.
私が車で空港までお連れします。
I will support you.
君を支持するよ。
I will get some tickets for you.
あなたのためにチケットを数枚入手してあげましょう。
I will care for your children.
お子さんたちの世話は任せてください。
I will hold your shoulder bag while you put on your coat.
コートを着る間、あなたのショルダーバッグを持っていてあげましょう。
I will teach you how to send an e-mail.
メールの送り方を私がお教えしますよ。
I will cook something for dinner.
夕食に何か作りますよ。
I will see you home.
家までお送りしましょう。